题目内容
【题目】如图，在棱长均为
的三棱柱
中，平面
平面
，
，
为
与
的交点．
（1）求证：
；
（2）求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）详见解析；（2）
.
【解析】
（1）证明线垂直面，即
平面
，从而证明线线垂直；
（2）以
为坐标原点，以
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，建立如图所示的空间直角坐标系
，求出平面
与平面
的法向量，再求出法向量夹角的余弦值，进而得到二面角的余弦值.
（1）因为四边形
为菱形，所以
，
又平面
平面，平面
平面
，
所以平面，
因为
平面，
所以
.
（2）因为
，所以菱形为正方形，
在
中，
，
在
中，
，
，
，
所以，
，又
，
，
所以，
平面；
以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
，
，
，
，
设平面的一个法向量为
平面的一个法向量为
，则
令
，得
，
令
，得
，
设平面与平面所成锐二面角为
，
则
，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
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