Question

已知函数f（x）=|a^x-1|-2a（a＞0，且a≠1）有两个零点，则a的取值范围是

（0，

1

2

）

．

Answer 1

分析：由题意可得f（x）=|a^x-1|-2a=0，即|a^x-1|=2a．函数y=|a^x-1|（a＞0，且a≠1）与函数y=2a的图象有两个交点，无论当0＜a＜1时还是 当a＞1时，而直线y=2a所过的点（0，2a）一定在点（0，1）的之间，由此求得实数a的取值范围．

解答：解：设函数f（x）=|a^x-1|-2a=0即|a^x-1|=2a．
函数f（x）=|a^x-1|-2a（a＞0，且a≠1）有两个零点，即函数y=|a^x-1|（a＞0，且a≠1）与函数y=2a的图象有两个交点，
由图象可知当0＜2a＜1时两函数时，一定有两个交点．
所以实数a的取值范围是{a|0＜a＜

1

2

}．
故答案为：（0，

1

2

）．

点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．