Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，an+1=

an+1n为奇数 2ann为偶数

(n∈N*)，设b_n=a_2n-1．
（I）求b₂，b₃，并证明：b_n+1=2b_n+2；
（II）①证明：数列{b_n+2}为等比数列；②若a_2k，a_2k+1，9+a_2k+2成等比数列，求正整数k的值．

Answer 1

分析：（I）由题设条b₂=a₃=2a₂=2（a₁+1）=4，b₃=a₅=2a₄=2（a₃+1）=10，由此能够证明b_n+1=2b_n+2．
（II）①由b₁=a₁=1，b₁+2≠0，知

bn+1+2

bn+2

=

2bn+2+2

bn+2

=2，由此能够证明数列{b_n+2}为等比数列．
②由①知bn+2=3×2n-1，从而得到bn=3×2n-1-2，a2n=a2n-1+1=3×2n-1-1，再由a_2k，a_2k+1，9+a_2k+2成等比数列，能够求出正整数k的值．

解答：解：（I）∵数列{a_n}满足：a₁=1，an+1=

an+1n为奇数 2ann为偶数

(n∈N*)，设b_n=a_2n-1，
∴b₂=a₃=2a₂=2（a₁+1）=4，
b₃=a₅=2a₄=2（a₃+1）=10，
同理，b_n+1=a_2n+1=2a_2n=2（a_2n+1+1）=2（b_n+1）=2b_n+2．
（II）①b₁=a₁=1，b₁+2≠0，

bn+1+2

bn+2

=

2bn+2+2

bn+2

=2，
∴数列{b_n+2}为等比数列．
②由①知bn+2=3×2n-1，
∴bn=3×2n-1-2，
∴a2n+1=3×2n-1-2，
a2n=a2n-1+1=3×2n-1-1，
∵a_2k，a_2k+1，9+a_2k+2成等比数列，
∴（3×2^k-2）²=（3-2^k-1-1）（3×2^k+8），
令2^k=t，得（3t-2）²=（

3

2

t-1）（3t+8），
整理，得3t²-14t+8=0，
解得t=

2

3

或t=4，
∵k∈N^*，∴2^k=4，解得k=2．

点评：本题考查数列递推公式的应用，考查等比数列的性质的灵活运用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．