Question

如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上，点F在DE上，且AF⊥DE，若圆柱的侧面积与△ABE的面积之比等于4π。

（Ⅰ）求证：AF⊥BD；

（Ⅱ）求二面角A―BD―E的正弦值。

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析。

（Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）因为AD⊥平面ABE，所以 AD⊥BE，                              （1分）

又AE⊥BE，AD∩AE＝A，所以BE⊥平面ADE，                              （2分）

因为AF平面ADE，所以BE⊥AF，                                           （3分）

又AF⊥DE，所以AF⊥平面BDE，故AF⊥BD。                                 （4分）

（Ⅱ）取BD的中点M，连结AM，FM。

因为AB＝AD，则AM⊥BD，因为AF⊥平面BDE，则AF⊥BD。

所以BD⊥平面AFM，从而FM⊥BD，所以∠AMF为二面角A―BD―E的平面角。    （6分）

过点E作EO⊥AB，垂足为O。

设圆柱的底半径为r，因为圆柱的轴截面ABCD是正方形，

则圆柱的母线长为2r，所以其侧面积为，

又△ABE的面积为，

由已知，，则OE＝r，

所以点O为圆柱底面圆的圆心。                                               （8分）

在Rt△AOE中，。

在Rt△DAE中，，。       （10分）

又，在Rt△AFM中，，

故二面角A―BD―E的正弦值为。                                           （12分）