Question

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+

3

asinC-b-c=0
（1）求A的大小；
（2）若a=7，求△ABC的周长的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理，结合和差的正弦公式，化简可得结论；
（2）利用余弦定理结合基本不等式，可求△ABC的周长的取值范围．

解答：解：（1）∵acosC+

3

asinC-b-c=0，
∴由正弦定理可得sinAcosC+

3

sinAsinC=sinB+sinC，
∴sinAcosC+

3

sinAsinC=sin(B+C)+sinC，
∴

3

sinA+cosA=1，
∴sin（A-30°）=

1

2

，
∴A-30°=30°，∴A=60°；
（2）由题意，b＞0，c＞0，b+c＞a=7，
∴由余弦定理49=b2+c2-2bccos

π

3

=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-

3

4

(b+c)2=

1

4

(b+)2（当且仅当b=c时取等号），
∴b+c≤14，
∵b+c＞7，
∴7＜b+c≤14，
∴△ABC的周长的取值范围为（14，21]．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．