Question

已知函数f(x)=-

1

3

x3+x2+(m2-1)x，(x∈R)，其中m＞0．
（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线的方程；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值；
（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x₁，x₂且x₁＜x₂，若对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的导函数，再求出函数在（2，2）处的导数即斜率，易求切线方程；
（2）由已知我们易求出函数的导函数，令导函数值为0，我们可求出导函数的零点，根据m＞0，我们将函数的定义域分成若干个区间，分别在每个区间上讨论导函数的符号，即可得到函数的单调区间与极值；
（3）由题意属于区间[x₁，x₂]的点的函数值均大于f（1），由此计算m的范围．

解答：解：（1）当m=2时，f(x)=-

1

3

x3+x2+3x
∴f′（x）=-x²+2x+3，
故k=f′（3）=0，
又∵f（3）=9
所以曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为：y=9；
（2）∵f′（x）=-x²+2x+m²-1，
令f′（x）=0，解得x=1-m或x=1+m，因为m＞0，所以1+m＞1-m，
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

∴f（x）在（-∞，1-m），（1+m，+∞）内是减函数，在（1-m，1+m）内是增函数，
∴函数f（x）在x=1-m处取得极小值f（1-m），且f(1-m)=-

2

3

m3+m2-

1

3

，
函数f（x）在x=1+m处取得极大值f（1+m），且f(1+m)=

2

3

m3+m2-

1

3

；
（3）由题设可得f(x)=x(-

1

3

x2+x+m2-1)=-

1

3

x(x-x1)(x-x2)，
∴方程-

1

3

x2+x+m2-1=0有两个相异的实根x₁，x₂，
故x₁+x₂=3，且△=1+

4

3

(m2-1)＞0
解得：m＜-

1

2

（舍去）或m＞

1

2

，
∵x₁＜x₂，所以2x₂＞x₁+x₂=3，∴x2＞

3

2

＞1，
若 x₁≤1＜x₂，则f(1)=-

1

3

(1-x1)(1-x2)≥0，
而f（x₁）=0，不合题意；
若1＜x₁＜x₂，对任意的x∈[x₁，x₂]，有x＞0，x-x₁≥0，x-x₂≤0，
则f(x)=-

1

3

x(x-x1)(x-x2)≥0，
又f（x₁）=0，所以 f（x）在[x₁，x₂]上的最小值为0，
于是对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是f(1)=m2-

1

3

＜0，
解得-

3

3

＜m＜

3

3

；     
综上，m的取值范围是(

1

2

，

3

3

)．

点评：本题考查函数的极值和单调性的求法，利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数f′（x）；（3）在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．解决此类问题的关键是熟练掌握利用导数球函数的单调区间与函数的极值．