Question

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：

存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x＋T）＝Tf（x）成立．

　　（Ⅰ）函数f（x）＝x是否属于集合M?说明理由；

　　（Ⅱ）设函数f（x）＝（a＞0且a≠1）的图像与y＝x的图像有公共点，

证明：f（x）＝∈M；

　　（Ⅲ）若函数f（x）＝sinkx∈M，求实数k的取值范围．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）对于非零常数T，f(x＋T)＝x＋T，Tf(x)＝Tx． 　　因为对任意x∈R，x＋T＝Tx不能恒成立．  所以f(x)＝xM. 　 （Ⅱ）因为函数的图像与函数y＝x的图像有公共点， 所以方程组：有解， 消去y得，显然x＝0不是方程的解，所以存在非零常数T，使． 　　于是对于，有， 故M． 　（Ⅲ）当k＝0时,f(x)＝0，显然f(x)＝0∈M.  当k0时，因为∈M，所以存在非零常数T， 　　对任意x∈R，有f(x＋T)＝Tf(x)成立，即． 　　因为，且x∈R，所以kx∈R，kx＋kT∈R， 于是[－1，1]，∈[－1，1]， 　　故要使成立，只有T＝1．  当T＝1时，成立，则，m∈Z． 　　当T＝－1时，成立，  即成立． 　　则－k＋＝2m，m∈Z，即k＝－(2m－1)，m∈Z． 综合得，实数k的取值范围是{k|k＝m，m∈Z}.