Question

（2008•宝坻区一模）点P是椭圆C₁：

x2

1+a2

+

y2

a2

=1与双曲线C₂：

x2

1-a2

-

y2

a2

=1的交点，F₁与F₂是两曲线的公共焦点，则∠F₁PF₂=（　　）

• A．

  π

  3

• B．

  π

  2

• C．

  2π

  3

• D．与a的取值无关

Answer 1

分析：由椭圆、双曲线的定义，可得|PF₁|+|PF₂|与|PF₁|-|PF₂|关于a的式子，化简得|PF₁|²+|PF₂|²=4．再由两曲线有公共焦点，算出|F₁F₂|²=4，得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，由勾股定理的逆定理得∠F₁PF₂=

π

2

．

解答：解：根据题意，可得
|PF₁|+|PF₂|=2

1+a2

…①，且||PF₁|-|PF₂||=2

1-a2

…②
①平方+②平方，得|PF₁|²+|PF₂|²=4
∵椭圆C₁与双曲线C₂有公共焦点
∴c²=（1+a²）-a²=（1-a²）+a²=1，可得|F₁F₂|²=4c²=4
由此可得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，可得∠F₁PF₂=

π

2

故选：B

点评：本题给出有公共焦点的椭圆与双曲线，求它们的交点对两个焦点的张角大小．着重考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．