Question

 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若  为定值．

Answer 1

解：（I）设椭圆C的方程为，

因为抛物线的焦点坐标是  所以由题意知b = 1．

又有        

∴椭圆C的方程为      …………………………………………4分

（II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为

易知右焦点的坐标为（2，0）．

   ……6分

将A点坐标代入到椭圆方程中，得

去分母整理得     ………………………………………9分

      

   …………12分

方法二：设A、B、M点的坐标分别为 又易知F点的坐标为（2，0）．

显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是

将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得

           ………………………………8分

又

……………………12分