Question

已知向量

a

=（1，2），

b

=（-2，1），k，t为正实数，向量

x

=

a

+（t²+1）

b

，

y

=-k

a

+

1

t

b

．
（1）若

x

⊥

y

，求k的最小值；
（2）是否存在k，t使

x

∥

y

？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）用坐标表示出

x

、

y

，利用

x

⊥

y

，结合基本不等式，即可得出结论；
（2）利用向量共线的结论，可得k=-

1

t(t2+1)

，根据t＞0，即可得出结论．

解答：解：（1）∵向量

x

=

a

+（t²+1）

b

，

y

=-k

a

+

1

t

b

，

a

=（1，2），

b

=（-2，1），
∴

x

=（-2t²-1，t²+3），

y

=(-k-

2

t

，-2k+

1

t

)
∵

x

⊥

y

，
∴（-2t²-1，t²+3）•(-k-

2

t

，-2k+

1

t

)=0
∴k=5(t+

1

t

)≥10，当且仅当t=1时，k取最大值10；
（2）∵

x

∥

y

，
∴（-2t²-1）•(-2k+

1

t

)=（t²+3）•（-k-

2

t

）
∴k=-

1

t(t2+1)

∵t＞0，∴k＜0
∵k为正实数，∴不存在．

点评：本题考查向量的垂直与共线，考查数量积的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．