Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP⊥底面ABCD．
（1）求证：AQ∥平面CEP；
（2）求证：平面AEQ⊥平面DEP；
（3）若EP=AP=1，求三棱锥E-AQC的体积．

Answer 1

分析：（1）证明AQCP为平行四边形，可得CP∥AQ，从而证明AQ∥平面CEP．
（2）先证明AQ⊥EP，利用ADQP为正方形可得 AQ⊥DP，从而证得AQ⊥平面DEP，进而得到平面AEQ⊥平面DEP．
（3）EP为三棱锥E-AQC的高，△ACQ的面积等于

1

2

•CQ•AD，代入三棱锥的体积公式进行运算．

解答：解：（1）在矩形ABCD中，∵AP=PB，DQ=QC，∴AP∥CQ 且AP=CQ，
∴AQCP为平行四边形，∴CP∥AQ．∵CP?平面CEP，AQ?平面CEP，
∴AQ∥平面CEP．
（2）∵EP⊥平面ABCD，AQ?平面ABCD，∴AQ⊥EP．
∵AB=2BC，P为AB中点，∴AP=AD．连PQ，则ADQP为正方形．∴AQ⊥DP．
又EP∩DP=P，∴AQ⊥平面DEP．∵AQ?平面AEQ．∴平面AEQ⊥平面DEP．
（3）∵EP⊥平面ABCD，∴EP为三棱锥E-AQC的高，
∴VE-AQC=

1

3

S△AQC•EP=

1

3

×

1

2

CQ•AD•EP=

1

6

×1×1×1=

1

6

．

点评：本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，求三棱锥的体积，证明AQ⊥平面DEP 是解题的难点．