Question

设是定义在R上的奇函数，与的图象关于直线x = 1对称，当时，。

（1）求的解析式；

（2）当x = 1时，取得极值，证明：对任意x₁、，不等式

。

（3）若是上的单调函数，且当时有，

证明：。

Answer 1

解：①∵与的图象关于直线x = 1对称当时，设为上的点

∴P关于x = 1对称点

则

∴

∴

又∵在R上是奇函数， ∴

又设                 ∴

∴

∴

∴   ∴

②

∴   ∴  ∴

∴

∵有   ∴

∴即在（－1，1）上为单调减函数，在上有

则上恒有：

③若在单调递减，则

∴上不恒成。

故a不存在，∴在递增

∴在上恒成立。∴

不妨假设，则

已知矛盾

若则与（矛盾）

∴综上可知