Question

（理）二项式（x³+

1

x2

）ⁿ的展开式中，只有第6项的系数最大，则该展开式中的常数项为

210

；
（文）已知x＞0，y＞0，x+y=1，求lgx+lgy的最大值是

-2lg2

．

Answer 1

分析：（1）根据展开式中，只有第6项的系数最大，可求n=10，写出其通项公式，令x的指数为0，即可求出展开式中的常数项；（2）由已知条件，可根据以得到 xy≤(

x+y

2

)2=

1

4

，从而得出lg（xy）的最大值

解答：解：（1）由题意，n=10，Tr+1=

C

r 10

×(x3) 10-r×(

1

x2

)r=

C

r 10

x 30-5r
令30-5r=0，∴r=6
∴展开式中的常数项为T₇=C₁₀⁶=210
（2）∵x＞0，y＞0，x+y=1∴xy≤(

x+y

2

)2=

1

4

又 lgx+lgy=lg(xy)≤lg(

x+y

2

)2=lg

1

4

=-2lg2，
故答案为：210；-2lg2．

点评：本题主要考查二项式定理的运用，考查基本不等式，解题的关键是写出展开式的通项，对对数式合理变形．