Question

已知函数f(x)=

10x-10-x

10x+10-x

．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）证明：函数f（x）是定义域内的增函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数奇偶性的定义判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）利用函数的单调性证明函数f（x）是定义域内的增函数．

解答：（Ⅰ）解：∵f（x）的定义域为R，且f（-x）=

10-x-10x

10-x+10x

=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（Ⅱ）证明：f(x)=

10x-10-x

10x+10-x

=

102x-1

102x+1

=1-

2

102x+1

．
令x₂＞x₁，
则f（x₂）-f（x₁）=(1-

2

102x2+1

)-(1-

2

102x1+1

)=

2

102x1+1

-

2

102x2+1

=

2(102x2-102x1)

(102x1+1)(102x2+1)

，
当x₂＞x₁时，102x2-102x1＞0．
又∵(102x1+1)(102x2+1)＞0，
故当x₂＞x₁时，f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）在R上是增函数．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用奇偶性的定义和单调性的定义是解决本题的关键．