Question

在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（0，1），C（-1，0），映射f将xOy平面上的点P（x，y）对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′（4xy，2x²-2y²），则当点P沿着折线A-B-C运动时，在映射f的作用下，动点P′的轨迹是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：映射f将xOy平面上的点P（u，v）对应到另一个平面直角坐标系uO'v上的点P'（4xy，2x²-2y²），求在映射f的作用下，动点P'的轨迹，就是求动点的横纵坐标所满足的函数关系式，把动点的坐标设出，借助于参数方程消掉参数即可．

解答：解：当点P沿着折线A-B运动时，x、y的关系为y=-x+1（0≤x≤1）
设p′（u，v），则

u=4xy v=2x2-2y2

所以

u=4x(-x+1)=-4x2+4x① v=2x2-2(-x+1)2=4x-2②

由②得x=

v+2

4

                ③
把③代入①得v²=-4u+4（0≤u≤1）
图象为抛物线在v轴右侧部分；
当点P沿着折线B-C运动时，x、y的关系为y=x+1（-1≤x≤0）
则

u=4x(x+1)=4x2+4x v=2x2-2(x+1)2=-4x-2

消掉参数得vv²=4u+4（-1≤u≤0），
图象为v轴左侧部分．
所以在映射f的作用下，动点P'的轨迹是抛物线的两部分．
故选A．

点评：本题考查了映射的概念，象与原象的关系，以及考查含参数方程的消参方法，计算能力也得到培养．