Question

已知函数f（x）=2 ^x+1+

a

2x-1

（a∈R，且a≠0）
（1）当a=-1时，判断f（x）在R上是增函数还是减函数，并说明理由；
（2）判断f（x）奇偶性．

Answer 1

分析：（1）令a=-1，可得f（x）=2 ^x+1-（

1

2

）^x-1，根据函数奇偶性的性质“增”-“减”=“增”可得结论；
（2）由已知中函数f（x）=2 ^x+1+

a

2x-1

，可得f（-x）=2^-x+1+

a

2-x-1

=2^-x+1+a（2^x+1），分别讨论a=1，a=-1和a≠±1三种情况可得答案．

解答：解：（1）当a=-1时，f（x）在R上是增函数，理由如下
∵函数f（x）=2 ^x+1+

a

2x-1

（a∈R，且a≠0）
∴当a=-1时，f（x）=2 ^x+1-

1

2x-1

=2 ^x+1-（

1

2

）^x-1，
∵函数y=2^x+1为增函数，y=（

1

2

）^x-1为减函数
由函数单调性的性质“增函数”-“减函数”=“增函数”
故f（x）=2 ^x+1-（

1

2

）^x-1为增函数
（2）∵函数f（x）=2^x+1+

a

2x-1

（a∈R，且a≠0）
∴函数的定义为R
而f（-x）=2^-x+1+

a

2-x-1

=2^-x+1+a（2^x+1）
当a=1时，f（x）=f（-x），此时函数为偶函数
当a=-1时，-f（x）=f（-x），此时函数为奇函数
当a≠±1时，函数为非奇非偶函数

点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，其中熟练掌握函数奇偶性及单调性的性质是解答本题的关键．