Question

已知函数是f（x）图象上的两点，横坐标为的点P满足（O为坐标原点）．
（1）求证：y₁+y₂为定值；
（2）若，其中n∈N^*，n≥2令，其中n∈N^*，T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求m的取值范围．
（3）对于给定的实数a（a＞1）是否存在这样的数列{a_n}，使得，且？若存在，求出a满足的条件；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设P点坐标为，由已知的向量关系得出x₁+x₂=1，利用对数运算即可求得y₁+y₂为定值；
（2）由（1）知当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=1．得出，下面对n进行分类讨论：当n≥2时，当n=1时，得到：再利用数列求和得出Tn，结合T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立结合基本不等式即可求得m的取值范围；
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在数列{a_n}满足条件，再利用等差数列的性质，求出a_n的长，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
解答：解：（1）设P点坐标为，由已知可得，则，
∴x₁+x₂=1=
（2）由（1）知当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=1.，①，②，
∴2S_n=n-1，故
当n≥2时，．
又当n=1时，，所以
故
∵T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立．
∴，而（当且仅当n=2时等号成立）
∴，即m的取值范围是
（3）假设存在数列{a_n}满足条件，则，
即，∴是以为首项，-1为公差的等差数列，
于是，∴，注意到
∴当a＞3时，存在这样的有穷数列{a_n}；当1＜a≤3时，不存在这样的数列．
点评：本小题主要考查等差数列的应用、数列与不等式的综合、数列的求和等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．