Question

已知函数f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx-1(x∈R)，
（1）求函数f（x）的周期；
（2）求函数f（x）单调增区间；
（3）求函数f（x）在x∈[0，

π

2

]的值域．

Answer 1

分析：（1）利用三角公式化简函数f（x）的解析式为2sin（

π

6

+2x），由周期T=

2π

ω

 求出周期．
（2）由 2kπ-

π

2

≤

π

6

+2x≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得x的范围即可得到函数f（x）单调增区间．
（3）由 0≤x≤

π

2

，得到

π

6

≤

π

6

+2x≤

7π

6

，故有-

1

2

≤sin（

π

6

+2x）≤1，从而得到函数f（x）在x∈[0，

π

2

]的值域．

解答：解：（1）函数f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx-1(x∈R)=cos2x+

3

sin2x=2（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）=2sin（

π

6

+2x），∴周期T=

2π

ω

=

2π

2

=π．
（2）由 2kπ-

π

2

≤

π

6

+2x≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得  kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
故函数f（x）单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]．
（3）∵0≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤

π

6

+2x≤

7π

6

，∴-

1

2

≤sin（

π

6

+2x）≤1，
∴-1≤2sin（

π

6

+2x）≤2，故 函数f（x）在x∈[0，

π

2

]的值域为[-1，2]．

点评：本题考查正弦函数的定义域、值域、单调性，两角和的正弦公式及二倍角公式的应用，利用单调性求sin（

π

6

+2x）的值域是解题的难点．