Question

已知函数f（x）=plnx-（p-1）x²+1
（1）当p=1时，f（x）≤kx恒成立，求实数k的取值范围；
（2）证明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为f（x）=plnx-（p-1）x²+1，所以当p=1时，f（x）≤kx恒成立，k≥，令，则k≥h（x）_max，由此能求出实数k的取值范围．
（2）由（1）知当k=1时，lnx＜x-1，令，构造函数，由此能够证明．
解答：解：（1）∵f（x）=plnx-（p-1）x²+1，
∴x＞0，∴当p=1时，f（x）≤kx恒成立，
则1+lnx≤kx，∴k≥，
令，则k≥h（x）_max，
∵，∴由h′（x）=0，得x=1
且当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，
所以h（x）_max=h（1）=1，
故k≥1．
所以实数k的取值范围是[1，+∞）．
（2）由（1）知当k=1时，有f（x）≤x，当x＞1时，f（x）＜x
即lnx＜x-1，令，构造函数，
即，
所以，，…，，
相加得，
而，
所以．
点评：本题考查函数恒成立时，实数的取值范围的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，注意等价转化思想和构造法的合理运用．