题目内容

已知数列{a_n}满足a₁=a（a为常数，a∈R），a_n+1=2ⁿ-3a_n（n∈N^），设b_n= $数学公式$ （n∈N^）．
（1）求数列{b_n}所满足的递推公式；
（2）求常数c、q使得b_n+1-c=q（b_n-c）对一切n∈N^*恒成立；
（3）求数列{a_n}通项公式，并讨论：是否存在常数a，使得数列{a_n}为递增数列？若存在，求出所有这样的常数a；若不存在，说明理由．

解：（1）∵a₁=a（a为常数，a∈R），a_n+1=2ⁿ-3a_n（n∈N^*），
∴ $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
数列b_n的递推公式是 $\text{[math]}$ ．
（2）∵b_n+1-c=q（b_n-c）（n∈N^*）
∴b_n+1=qb_n+c-qc
又由（1）可知， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
（3）由（2）知，数列 $\text{[math]}$ 是首项为 $\text{[math]}$ 公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列．
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 为所求的通项公式．
考察数列a_n，∵ $\text{[math]}$
1^O．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，
此时数列a_n是递增数列．
2^O．当 $\text{[math]}$ 时，
$\text{[math]}$ 是正负相间出现，其绝对值是正常数 $\text{[math]}$ ，
而 $\text{[math]}$ ．
故当n充分大时， $\text{[math]}$ 的值的符号
与 $\text{[math]}$ 的值的符号相同，即数列的项的值是正负相间出现的，
故数列a_n不可能是单调数列．
综上所述，当且仅当 $\text{[math]}$ 时，数列a_n是递增数列．
分析：（1）由题意知 $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．由此可知数列b_n的递推公式．
（2）由题意知b_n+1=qb_n+c-qc，又由（1）可知， $\text{[math]}$ ，由此可知 $\text{[math]}$
（3）由（2）知，数列 $\text{[math]}$ 是首项为 $\text{[math]}$ 公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，由此可知 $\text{[math]}$ 为所求的通项公式．由此可求出所有这样的常数a．
点评：本题考查数列的性质及其应用，解题时要认真审题，仔细解答．