Question

（14分）如图，已知四棱锥的正视图和侧视图均是直角三角形，俯视图为矩形，N、F分别是SC、AB的中点， ，．

（1）求证：SA⊥平面ABCD

（2）求证：NF∥平面SAD；

（3）求二面角A-BN-C的余弦值．

 

 

 

Answer 1

【答案】

17. (1)∵∴-------(3分)

(2)取SD的中点N，连接MN，AM

∵N为SC的中点，∴MN∥CD且MN=

  又矩形ABCD中，F为AB的中点，∴AF∥CD且AF=

  ∴AF∥MN且AF=MN   则四边形AFNM为平行四边形----------（5分）

  ∴AM∥FN   AM平面SAD    FN平面SAD   ∴NF∥平面SAD------（7分）

(3)以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，SA所在直线为轴的空间直角坐标系，如图所示．

则依题意可知相关各点的坐标分别是：

，，，，如下图所示．

∴------------------…（9分）

∴，

--------------（10分）

设平面ABN的法向量

令----------------------------------------（11分）

设平面的法向量，则，

所以      即                  

所以

令，则------------------------------  (12分)

∴ ------------     （13分）

由图形知，二面角是钝角二面角

所以二面角的余弦值为．........................................................ （14分）

 

【解析】略