Question

△ABC中，sin(

π

2

+B)=

2 5

5

，a，b，c分别是角A，B，C的对边．
（1）求tanB；
（2）若sinA=

10

10

，c=10，△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用诱导公式化简已知的等式，求出cosB的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，即可得出tanB的值；
（2）由sinA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，由sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入求出sinC的值，由sinA，sinC及c的值，利用正弦定理求出a的值，由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）∵sin（B+

π

2

）=cosB=

2 5

5

，
∴sinB=

1-cos2B

=

5

5

，
则tanB=

sinB

cosB

=

1

2

；
（2）∵sinA=

10

10

，
∴cosA=

1-sin2A

=

3 10

10

（负值代入后面sinC中得到sinC为负值，不合题意，舍去），
又sinB=

5

5

，cosB=

2 5

5

，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

10

10

×

2 5

5

+

3 10

10

×

5

5

=

2

2

，
∵c=10，
∴由正弦定理得：a=

csinA

sinC

=

10× 10 10

2 2

=2

5

，
则S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×2

5

×10×

5

5

=10．

点评：此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及诱导公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．