Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a≠0）．
（1）求函数f（x）的单调区间
（2）函数f（x）的图象在x=4处切线的斜率为

3

2

，若函数g(x)=

1

3

x3+x2[f′(x)+

m

2

]在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导数f′（x），然后讨论a的正负，再结合导数与函数单调性的关系分情况讨论即可；
（2）由切线斜率为

3

2

，可求出a值，进而求出f（x）、f′（x），根据g（x）在区间（1，3）上不单调，则g′（x）在区间（1，3）上改变符号，从而得到m所满足的条件．

解答：解　（1）∵f（x）=alnx-ax-3（a≠0），
∴f′（x）=

a(1-x)

x

（x＞0），
①当a＞0时，若x∈（0，1），则f′（x）＞0；若x∈（1，+∞），则f′（x）＜0，
∴当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞）；
②当a＜0时，若x∈（1，+∞），则f′（x）＞0；若x∈（0，1），则f′（x）＜0，
∴当a＜0时，f（x）的单调递增区间为[1，+∞），单调递减区间为（0，1]；
（2）由题意知，f′（4）=-

3a

4

=

3

2

，得a=-2，则f（x）=-2lnx+2x-3，
∴g（x）=

1

3

x³+x²（2-

2

x

+

m

2

）=

1

3

x³+（

m

2

+2）x²-2x，
∴g′（x）=x²+（m+4）x-2．
∵g（x）在区间（1，3）上不是单调函数，且g′（0）=-2＜0，
∴

g′(1)＜0 g′(3)＞0

，即

1+(m+4)-2＜0 32+3(m+4)-2＞0

解得-

19

3

＜m＜-3，
故m的取值范围是（-

19

3

，-3）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．属于中档题．