Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求证：BD⊥平面AA₁C₁C；
（2）求二面角C₁-BD-C大小的正切值．

Answer 1

分析：（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由 BD⊥AC，AA₁⊥BD，可得BD⊥平面AA₁C₁C．
 （2）设AC和BD相交于点O，可得∠C₁OC就是二面角C₁-BD-C的平面角，由 tan∠C₁OC=

C1C

OC

 求出结果．

解答：解：（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∵BD⊥AC，AA₁⊥BD，而AC和 AA₁是平面平面AA₁C₁C内的两条相交直线，故 BD⊥平面AA₁C₁C．
（2）设AC和BD相交于点O，则由BD⊥AC，C₁C⊥面ABCD，可得∠C₁OC就是二面角C₁-BD-C的平面角．
在直角三角形 C₁OC 中，tan∠C₁OC=

C1C

OC

=

1

2 2

=

2

．

点评：本题考查证明线面垂直的方法，求二面角的大小，判断∠C₁OC就是二面角C₁-BD-C的平面角，是解题的关键．