Question

如图，直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁=2，底面ABCD是菱形，AB=2,∠ABC=60°，P为侧棱BB₁上的动点.

(1)求证：D₁P⊥AC；

(2)当P恰为棱B₁B的中点时，求四面体CPD₁A的体积.

Answer 1

解:(1)连结BD，则AC⊥BD，

∵D₁D⊥平面ABCD，∴AC⊥D₁D.∴AC⊥平面BB₁D₁D.∵D₁P平面BB₁D₁D，

∴D₁P⊥AC.

(2)设BD∩AC=O,连D₁O，PO，∵D₁A=D₁C，∴D₁O⊥AC，同理PO⊥AC，

又∵D₁O∩PO=O，∴AC⊥平面POD₁.

∵AB=2，∠ABC=60°，∴AO=CO=1，BO=DO=.

∴D₁O==,PO==2.在Rt△PB₁D₁中,D₁P==,

在△D₁OP中,cos∠D₁OP==.

∴sin∠D₁OP==,

∴=××2×=,

∴=+=××2=.