Question

已知定义域为R的函数f（x）既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x∈（0，）时，f（x）=sinπx，f（）=0，则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（ ）
A．9
B．7
C．5
D．3

Answer 1

【答案】分析：由题意知当时f（x）=sinπx，求出f（x）=0的根，再由条件和奇函数的性质，求出一个周期[-，]内函数零点的个数，根据f（x）是定义域为R的周期为3函数，根据周期性进行求出在区间[0，6]上的零点即可．
解答：解：由题意得当时，f（x）=sinπx，
令f（x）=0，则sinπx=0，解得x=1．
又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，且，
∴在区间[-，]上有f（-1）=f（1）=f（-）=f（）=0，且f（0）=0，
∵函数f（x）是周期为3的周期函数，
则方程f（x）=0在区间[0，6]上的解有0，1，，2，3，4，，5，6，共9个．
故选A．
点评：本题考查了函数的周期性和奇偶性的综合应用，关键结论“若奇函数经过原点，则必有f（0）=0”应用，这个关系式大大简化了解题过程，要注意在解题中使用．如果本题所给区间为开区间，则答案为7个，若区间为半开半闭区间，则答案为8个，故要注意对端点的分析．