Question

a＞0，当x∈[-1，1]时，f（x）=-x²-ax+b的最小值为-1，最大值为1，则实数a的值为 ________．

Answer 1

2-2
分析：由函数解析式得到二次函数开口向下，因此对称轴的左边是递增的，右边是递减的．因为题目中a大于0，那么对称轴-小于0，分-小于-1和-小于0大于等于-1两种情况考虑，分别找出函数的最大值和最小值，根据已知的最小值为-1，最大值为1，列出关于a与b的两个方程，联立即可求出a的值，经过检验即可得到满足题意的a的值．
解答：由f（x）=-x²-ax+b，得到对称轴为直线x=-，由a＞0得到-＜0，
当-＜-1即a＞2时，得到函数f（x）的最小值为f（1）=-1-a+b=-1，即a=b①；
最大值为f（-1）=-1+a+b=1，即a+b=2②，把①代入②解得：a=1与a＞2矛盾；
当-1≤-＜0即0＜a≤2时，得到函数的最大值为顶点纵坐标=1，化简得：a²+4b-4=0①；
最小值为f（1）=-1-a+b=-1，即a=b②，由②代入①得：a²+4a-4=0，解得：a==-2+2，a=-2-2（舍去），
综上，实数a的值为2-2．
故答案为：2-2
点评：此题考查了二次函数的图象与性质，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．最值在哪一点取得是解题的关键，而最值的取得和对称轴的位置有关，因此题目分类讨论的基准就是对称轴和区间[-1，1]的位置关系．