Question

已知椭圆E的中心在坐标原点O，经过两点A(1，

2 5

5

)，B(-2，

5

5

).圆C以点（2，0）为圆心，椭圆的短半袖长为半径．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若点P是圆C上的一个动点，求

CP

•

OP

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的标准方程把A，B点的坐标代入即可求得m和n，则椭圆的方程可得．
（2）根据椭圆的短半轴的长求得圆心的坐标和半径，进而可得圆的方程，设出P的坐标，则可分别表示出

CP

和

OP

，进而求得

CP

•

OP

的表达式，进而根据圆方程确定x的范围，进而求得

CP

•

OP

的取值范围．

解答：解：（1）设椭圆E的标准方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，且m≠n）．
因为A(1，

2 5

5

)，B(-2，

5

5

)在椭圆E上，所以

m+ 4 5 n=1 4m+ 1 5 n=1

解得m=

1

5

，n=1，满足条件
所以所求椭圆E的标准方程为

x2

5

+y2=1.
（2）由（1）知椭圆的短半轴长为1，所以圆心坐标为（2，0），半径r=1，
故圆C的方程为（x-2）²+y²=1．
设P（x，y），则

CP

=(x-2，y)，

OP

=(x，y)，
所以

CP

•

OP

=x(x-2)+y2=x2+y2-2x=2x-3.
因为（x-2）²+y²=1，所以（x-2）²≤1，即-1≤x-2≤1，得1≤x≤3．
所以-1≤2x-3≤3，即

CP

•

OP

的取值范围为[-1，3]．

点评：本题主要考查了椭圆的应用．考查了学生综合分析问题的能力．