Question

已知函数f（x）=log₂

1+x

1-x

（1）求 f（x） 的定义域；
（2）讨论f（x） 的奇偶性；
（3）用定义讨论 f（x） 的单调性．

Answer 1

（1）∵f（x）=log₂

1+x

1-x

，
∴

1+x

1-x

＞0，解得：-1＜x＜1，
所以 f（x）的定义域为{x|-1＜x＜1}．
（2）因为f（x）的定义域为{x|-1＜x＜1}，
且f（-x）=log2

1-x

1+x

=log2(

1+x

1-x

)-1=-log2

1+x

1-x

=-f（x），
所以，f（x）是定义（-1，1）上的奇函数．
（3）设-1＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=log2

1+x1

1-x1

-log2

1+x2

1-x2

=log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

=log2(

1+x1

1+x2

•

1-x2

1-x1

)，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴0＜1+x₁＜1+x₂＜1，0＜1-x₂＜1-x₁＜1，
∴0＜

1+x1

1+x2

•

1-x2

1-x1

＜1，
∴log2(

1+x1

1+x2

•

1-x2

1-x1

)＜0，
所以，f（x）在定义域（-1，1）上是增函数．