Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁各个表面的对角线中，与AD₁所成角为60°的有________条（填数字）．

Answer 1

8
分析：如图，设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为1，则△AD₁B₁中，AD₁=B₁D₁=AB₁=，所以△AD₁B₁是等边三角形，因此AB₁和D₁B₁都与AD₁成60°的角，再根据平行线的性质得到DC₁和DB都与AD₁成60°的角．同理可得AC、D₁C、A₁C₁和A₁B都与AD₁成60°的角．由此可得与AD₁所成角为60°的面对角线共有8条．
解答：解：如图，因为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中所有棱长均相等，设为1
则△AD₁B₁中，AD₁=B₁D₁=AB₁=
∴△AD₁B₁是等边三角形，∠D₁AB₁=∠AD₁B₁=60°
因此AB₁和D₁B₁都与AD₁成60°的角．
又∵AB₁∥DC₁且D₁B₁∥DB
∴DC₁和DB都与AD₁成60°的角．
同理可得，△AD₁C是等边三角形，∠D₁AC=∠AD₁C=60°，
因此AC、D₁C、A₁C₁和A₁B都与AD₁成60°的角．
综上所述，与AD₁所成角为60°的有AB₁、D₁B₁、DC₁、DB、AC、D₁C、A₁C₁和A₁B共8条
故答案为：8
点评：本题给出正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁一条面对角线，要我们找出与之成60°角的面对角线条数，着重考查了异面直线所成角的概念，属于基础题．