Question

已知函数f(x)=x2-3kx+3k-log

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m（k，m为常数）．
（1）当k和m为何值时，f（x）为经过点（1，0）的偶函数？
（2）若不论k取什么实数，函数f（x）恒有两个不同的零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数奇偶性的定义可判断出f（-x）=f（x）把函数解析式代入求得6kx=0总成立，求得k，进而根据函数过（1，0）点代入后即可求得m．
（2）根据函数f（x）恒有两个不同的零点知可判断出方程x2-3kx+3k-log

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m=0恒有两个不等实根进而根据△＞0恒成立，进而求得m的范围．

解答：解：（1）因为函数f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x）
∴x2+3kx+3k-log

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m=x2-3kx+3k-log

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2

m
由此得6kx=0总成立，故k=0．
∴f(x)=x2-log

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m，又该函数过点（1，0），
∴log

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m=1，得m=

1

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所以，当m=

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，k=0时，f（x）为经过点（1，0）的偶函数．
（2）由函数f（x）恒有两个不同的零点知，
方程x2-3kx+3k-log

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m=0恒有两个不等实根
，故△=9k2-4(3k-log

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m)＞0恒成立，
即4log

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m＞-9k2+12k恒成立，
而-9k²+12k=-9(k-

2

3

)2+4≤4，
故只须4log

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m＞4，即log

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m＞1，解得0＜m＜

1

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．
所以，当0＜m＜

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时，函数f（x）恒有两个不同的零点．

点评：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系．如果函数无零点，则方程无实数根；如果有一个零点，则方程有且只有一个实根；函数有两个零点，则方程有两个实数根．