Question

已知函数f(x)=

ex

x2-ax+a

．
（Ⅰ）当0＜a＜4时，试判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a=0时，对于任意的x∈（1，t]，恒有tf（x）-xf（t）≥f（x）-f（t），求t的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为f′(x)=

ex(x2-ax+a)-ex(2x-a)

(x2-ax+a)2

=

[x2-(a+2)x+2a]ex

(x2-ax+a2)2

=

(x-2)(x-a)ex

(x2-ax+a)2

，令f'（x）=0，得x=a或2，由此能判断函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）法一：依题意有（t-1）f（x）≥（x-1）f（t），由x∈（1，t]，知

f(x)

x-1

≥

f(t)

t-1

，设g(x)=

f(x)

x-1

=

ex

x2(x-1)

，而g（x）≥g（t）在（1，t]上恒成立，由此能求出t的最大值．
法二：由

f(x)

x-1

≥

f(t)

t-1

，其几何意义是动点P（x，f（x）），与定点A（1，0）连线的斜率，当x=t时，取到最小值，由此能求出t的最大值．

解答：解：（Ⅰ）因为f′(x)=

ex(x2-ax+a)-ex(2x-a)

(x2-ax+a)2

=

[x2-(a+2)x+2a]ex

(x2-ax+a2)2

=

(x-2)(x-a)ex

(x2-ax+a)2

，
令f'（x）=0，
∴x=a或2，
∴当0＜a＜2时，f（x）在（-∞，a）单调增，在（a，2）上单调减，在（2，+∞）上单调增；
当a=2时，f（x）在（-∞，+∞）单调增；
当2＜a＜4时，f（x）在（-∞，2）单调增，
在（2，a）上单调减，在（a，+∞）上单调增；
（Ⅱ）（方法一）依题意有（t-1）f（x）≥（x-1）f（t），
∵x∈（1，t]，∴

f(x)

x-1

≥

f(t)

t-1

，
设g(x)=

f(x)

x-1

=

ex

x2(x-1)

，
而g（x）≥g（t）在（1，t]上恒成立，
因为g′(x)=

exx2(x-1)-ex(3x2-2x)

x4(x-1)2

=

ex(x2-4x+2)

x3(x-1)2

，
令g'（x）=0，∴x=2±

2

故g(x)在(1，2+

2

)上单调减，在(2+

2

，+∞)上单调增，
∴t≤2+

2

，即t的最大值为2+

2

．
（方法二）由

f(x)

x-1

≥

f(t)

t-1

，其几何意义是动点P（x，f（x）），
与定点A（1，0）连线的斜率．
当x=t时，取到最小值，
设t的最大值为t₁，则

f(t1)

t1-1

=f′(t1)，
即

et1

t12(t1-1)

=

et1(t1-2)

t13

，
∴t12-4t1+2=0，∴t1=2±

2

，
又t₁＞1，∴t1=2+

2

，
即t的最大值为2+

2

．

点评：本题考查函数的单调性的判断与满足条件的实数t的最大值的求法，综合性强，难度较大，具有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的合理运用．