题目内容

已知数列{an}满足a1=，an+1=an+.

求证：（1）2＜an＜3；

（2）an+1－2＜（an－2）；

（3）an－2＜（）2n－1.

证明：（1）用数学归纳法证明.

∵2＜a1=＜3，

∴n=1时，不等式成立.

假设当n=k时命题成立，即有2＜ak＜3.

当n=k+1时，

ak+1=ak+＞2=2（ak＞2）.

又ak＜，＜1，

∴ak+1=ak+＜1+＜3.

∴2＜ak+1＜3.

当n=k+1时，不等式成立.

由上可知不等式2＜ak＜3对任意正整数都成立.

（2）an+1－2=an+－2=（an－2）2.

∵2＜an＜3，0＜an－2＜1，

∴an+1－2＜＜= （an－2）.

（3）由（2）知an－2＜（an－1－2）＜

（）2（an－2－2）＜…＜（）n－1（a1－2）

=（）n－1=（）2n－1，∴问题得证.

练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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