Question

18．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x（1-x），求
（1）f（0）；
（2）当x＜0时，f（x）的表达式；
（3）f（x）的表达式．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质，定义在R上的奇函数图象必要原点，可得f（0）；
（2）当x＜0时，-x＞0，结合当x＞0时，f（x）=x（1-x），及f（-x）=-f（x）可得x＜0时，f（x）的表达式；
（3）结合已知及（1）（2）的结论，可得f（x）的表达式

解答 解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0；
（2）当x＜0时，-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=x（1-x），
∴f（-x）=-x（1+x），
又∵奇函数满足f（-x）=-f（x），
∴x＜0时，f（x）=-f（-x）=x（1+x），
（3）综上所述：
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x（1+x），x≤0\\ x（1-x），x＞0\end{array}\right.$

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数奇偶性的定义将变量进行转化是解决本题的关键．