题目内容

已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若4 $数学公式$ -cos2A= $数学公式$ ，b+c= $数学公式$ ，求A、B、C的大小．

解：∵4 $\text{[math]}$ -cos2A= $\text{[math]}$ ，
即4 $\text{[math]}$ -（2cos²A-1）= $\text{[math]}$ ，
∴2+2cosA-2cos²A+1= $\text{[math]}$ ，
即2cos²A-2cosA+ $\text{[math]}$ =0
解得cosA= $\text{[math]}$
∵A∈（0，π）
∴A= $\text{[math]}$
又b+c= $\text{[math]}$ ，由正弦定理得：sinB+sinC= $\text{[math]}$ sinA= $\text{[math]}$
∴sin（ $\text{[math]}$ -C）+sinC= $\text{[math]}$
∴sin（C+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
∴C+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，或C+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴C= $\text{[math]}$ ，或C= $\text{[math]}$
∴A= $\text{[math]}$ ，B= $\text{[math]}$ ，C= $\text{[math]}$ ，或A= $\text{[math]}$ ，B= $\text{[math]}$ ，C= $\text{[math]}$
分析：由已知中4 $\text{[math]}$ -cos2A= $\text{[math]}$ ，我们可以根据同角三角函数关系及二倍角公式，我们可以构造关于A的三角方程，解方程即可求出A，由b+c= $\text{[math]}$ ，利用正弦定理，我们进一步可以求出B，C值，得到答案．
点评：本题考查的知识点是正弦定理，同角三角函数关系，二倍角公式，其中根据已知条件构造满足条件的三角方程是解答本题的关键．