题目内容

精英家教网如图，平面AC⊥平面AE，且四边形ABCD与四边形ABEF都是正方形，则异面直线AC与BF所成角的大小是
 
．
分析：以A为坐标原点，AF，AB，AD方向分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，设正方形ABCD与正方形ABEF的边长均为1，求出异面直线AC与BF的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出答案．
解答：解：以A为坐标原点，AF，AB，AD方向分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系
设正方形ABCD与正方形ABEF的边长均为1
则A（0，0，0），B（0，1，0），C（0，1，1），F（1，0，0）
则
AC
=（0，1，1），
BF
=（1，-1，0）
设异面直线AC与BF所成角为θ，
则cosθ=|
AC
•
BF
|
AC
|•|
BF
|
|=
1
2

∴θ=60°
故答案为：60°
点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中构造空间直角坐标系，将异面直线夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．
练习册系列答案
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精英家教网如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10．
（Ⅰ）设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；
（Ⅱ）证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．

（08年厦门外国语学校模拟文）（12分）如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且，G是EF的中点，               

（Ⅰ）求证平面AGC⊥平面BGC；

（Ⅱ）求GB与平面AGC所成角正弦值；               

（Ⅲ）求二面角B―AC―G的平面角的正弦值

 

如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、

PC的中点．

（1）求证：EF∥平面PAD；

（2）求证：EF⊥CD；

（3）若ÐPDA＝45°求EF与平面ABCD所成的角的大小．

【解析】本试题主要考查了线面平行和线线垂直的运用，以及线面角的求解的综合运用

第一问中，利用连AC，设AC中点为O，连OF、OE在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点   ∴ FO∥PA …………①在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO   ∴ EF∥平面PAD．

第二问中在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD ∴ EO⊥CD  又    ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC∴ EO为EF在平面AC内的射影       ∴ CD⊥EF．

第三问中，若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC    ∵ EOBC，FOPA

∴ FO＝EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

证：连AC，设AC中点为O，连OF、OE（1）在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点∴ FO∥PA …………①    在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点  ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD    

∵ EF Ì 平面EFO      ∴ EF∥平面PAD．

（2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD∴ EO⊥CD  又        ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC ∴ EO为EF在平面AC内的射影     ∴ CD⊥EF．

（3）若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC         ∵ EOBC，FOPA

∴ FO＝EO 又    ∵ FO⊥平面AC   ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

 
如图，平面AC⊥平面AE，且四边形ABCD与四边形ABEF都是正方形，则异面直线AC与BF所成角的大小是    ．

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