题目内容

若a、b、c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+,求证:a、b、c中至少有一个大于0.

证明：(用反证法)假设a、b、c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0,

而a+b+c=x2-2y++y2-2z++z2-2x+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3,

∵π-3＞0,且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0,

∴a+b+c＞0.这与a+b+c≤0矛盾,因此a、b、c中至少有一个大于0.

绿色通道：

含有“至多” “至少”类型的命题常用反证法证明.

练习册系列答案
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（1）已知a，b，c均为实数，求证：a2+b2+c2≥
1
3
(a+b+c)2．
（2）若a，b，c均为实数，且a=x2-2y+
1
3
，b=y2-2z+3，c=z2-2x+
1
6
．求证：a，b，c中至少有一个大于0．
（1）求证：a5+b5≥a2b3+a3b2，（a，b∈R+）；
（2）用反证法证明：若a，b，c均为实数，且a=x2-2y+
π
2
，b=y2-2z+
π
3
，c=z2-2x+
π
6
，求证a，b，c中至少有一个大于0．
若a、b、c均为实数且a=x2-2y+1，b=y2-2z+2，c=z2-2x+2．求证：a、b、c中至少有一个大于0．
用反证法证明．若a、b、c均为实数，且a=x2-2y+
π
2
，b=y2-2z+
π
3
，c=z2-2x+
π
6
，求证：a、b、c中至少有一个大于0．

若a、b、c均为实数且.求证：a、b、c中至少有一个大于0.

 

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