题目内容

已知△ABC中，AC=1， $数学公式$ ，设∠BAC=x，并记 $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的解析式及其定义域；
（2）设函数g（x）=6mf（x）+1，若函数g（x）的值域为 $数学公式$ ，试求正实数m的值．

解：（1）由题意可得∠ACB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
在△ABC中，由正弦定理可知： $\text{[math]}$ ，
可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ ，BC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
（2）由（1）可知， $\text{[math]}$ ，
假设存在正实数m符合题意，
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ，
又m＞0， $\text{[math]}$ ∈（1，m+1]，
函数g（x）的值域为（1，m+1]，
令 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）通过正弦定理求出AB，BC，利用向量的数量积化简三角函数，通过二倍角公式两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，即可求函数f（x）的解析式及其定义域；
（2）利用（1）直接得到函数g（x）=6mf（x）+1，通过函数的定义域，求出 $\text{[math]}$ ，结合函数g（x）的值域为 $\text{[math]}$ ，即可求正实数m的值．
点评：本题是中档题，考查正弦定理的应用，三角函数基本公式的应用，注意函数的定义域与函数的值域，考查计算能力．