题目内容
已知△ABC中，AC=1，∠ABC=
，设∠BAC=x，记f（x）=AB．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及定义域；
（Ⅱ）D是AB边的中点，若f(x)=
，求CD长．
| 2π |
| 3 |
（Ⅰ）求f（x）的解析式及定义域；
（Ⅱ）D是AB边的中点，若f(x)=
| ||
| 3 |
分析：（Ⅰ）由∠ABC与∠BAC的度数，利用内角和定理表示出∠ACB的度数，利用正弦定理列出关系式，表示出AB，即可确定出f（x）的解析式，求出定义域即可；
（Ⅱ）由f（x）的值，以及f（x）解析式求出x的值，确定出三角形为等腰三角形，在三角形BCD中，利用余弦定理即可求出CD的长．
（Ⅱ）由f（x）的值，以及f（x）解析式求出x的值，确定出三角形为等腰三角形，在三角形BCD中，利用余弦定理即可求出CD的长．
解答：解：（Ⅰ）∵∠ABC=
，∠BAC=x，
∴∠ACB=
-x，
由正弦定理
=
得：AB=
=
sin（
-x），
∴f（x）=
sin（
-x）（0＜x＜
）；
（Ⅱ）∵f（x）=
sin（
-x）=
，
∴sin（
-x）=
，即
-x=
，
解得：x=
，
∴△ABC为等腰三角形，即AB=BC=
，BD=
AB=
，
在△BCD中，利用余弦定理得：CD2=BC2+BD2-2BC•BDcos∠ABC=
+
+
=
，
则CD=
．
| 2π |
| 3 |
∴∠ACB=
| π |
| 3 |
由正弦定理
| AC |
| sin∠ABC |
| AB |
| sin∠ACB |
1×sin(
| ||
sin
|
2
| ||
| 3 |
| π |
| 3 |
∴f（x）=
2
| ||
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（Ⅱ）∵f（x）=
2
| ||
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 3 |
∴sin（
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
解得：x=
| π |
| 6 |
∴△ABC为等腰三角形，即AB=BC=
| ||
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 6 |
在△BCD中，利用余弦定理得：CD2=BC2+BD2-2BC•BDcos∠ABC=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 12 |
| 1 |
| 6 |
| 7 |
| 12 |
则CD=
| ||
| 3 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．
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