Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n,且a_n≠0,S_n+1+S_n=ka_n+1(|k|＞1),问数列{a_n}是否为等比数列?并说明理由.

Answer 1

解：∵S_n+1+S_n=ka_n+1,又S_n+1-S_n=a_n+1,

∴2S_n+1=(k+1)a_n+1,则2S_n=(k+1)a_n(n≥2).

    以上两式相减得2a_n+1=(k+1)a_n+1-(k+1)a_n(n≥2).

∴(k-1)a_n+1=(k+1)a_n(n≥2).

∴=(n≥2).

    又S₁+S₂=ka₂,∴2a₁+a₂=ka₂.

∴=.

    若{a_n}为等比数列,则=,

∴k=1.

    这与|k|＞1矛盾,

∴{a_n}不是等比数列.