Question

【题目】已知椭圆的离心率为，若椭圆与圆相交于两点，且圆在椭圆内的弧长为．

（1）求的值；

（2）过椭圆的中心作两条直线交椭圆于和四点，设直线的斜率为， 的斜率为，且．

①求直线的斜率；

②求四边形面积的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)①. ；②. .

【解析】试题分析：（1）先求出的坐标，再利用离心率、点在椭圆上进行求解；（2）①设出直线方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用判别式、根与系数的关系、斜率公式进行求解；②利用弦长公式和点到直线的距离公式进行求解.

试题解析：（1）由圆在椭圆内的弧长为，则该弧所对的圆心角为， 的坐标分别为，设，由可得， ∴，

则椭圆方程可记为代入得， ∴，

∵， ∴；

（2）①由（1）知椭圆方程可记为，由题意知直线的斜率显然存在

直线的方程为： ，设，联立，

消去，可得，

，即， ，

，

∵， ∴，即， ∴；

②，

到直线的距离，

四边形面积，

∵，

∴四边形面积．