题目内容

已知正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃=12，且2a₁，a₂，a₃+1成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）记b_n= $数学公式$ 的前n项和为T_n，求证 $数学公式$ ．

（1）解：设公差为d，则∵S₃=12，，即a₁+a₂+a₃=12，∴3a₂=12，∴a₂=4，
又∵2a₁，a₂，a₃+1成等比数列，∴a₂²=2（a₂-d）（a₂+d+1），解得d=3或d=-4（舍去），
∴a_n=a₂+（n-2）d=3n-2；----------------------（6分）
（2）证明：b_n= $\text{[math]}$ =（3n-2）• $\text{[math]}$ ，
∴T_n=1× $\text{[math]}$ +4× $\text{[math]}$ +…+（3n-2）• $\text{[math]}$ ，①
∴ $\text{[math]}$ T_n=1× $\text{[math]}$ +4× $\text{[math]}$ +…+（3n-5）• $\text{[math]}$ +（3n-2）• $\text{[math]}$ ，②
①-②得， $\text{[math]}$ T_n= $\text{[math]}$ +3× $\text{[math]}$ +3× $\text{[math]}$ +…+3• $\text{[math]}$ -（3n-2）• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ -（3n-2）• $\text{[math]}$
∴T_n= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．-------------------------（12分）
分析：（1）利用S₃=12，且2a₁，a₂，a₃+1成等比数列，确定两个方程，即可求{a_n}的通项公式；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法求数列的和，即可证得结论．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，正确求和是关键．

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