Question

已知数列{a_n}的前4项成等差数列，且满足a_n+2=

an+2，n为奇数 2an，n为偶数

．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{a_n}的前n项的和为S_n，求满足S_n＜2012的最大的S_n的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得a₂+a₃=a₁+a₄，a₁+a₃=2a₂，进而可得a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，可得通项；
（2）由（1）可得S_n=

n2 4 +2 n+2 2 -2      n为偶数 (n+1)2 4 +2 n+1 2 -2      n为奇数

，可知随着n的增大，S_n逐渐增大，经验证S₁₉=1122，S₂₀=2146，可得答案．

解答：解：（1）由题意可得a₃=a₁+2，a₄=2a₂，
故数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，
又前4项成等差数列，故a₂+a₃=a₁+a₄，a₁+a₃=2a₂，
代入解得a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，
故{a_n}的通项公式为：a_n=

n      n为奇数 2 n 2             n为偶数

，
（2）由（1）可得a_n=

n      n为奇数 2 n 2             n为偶数

，
当n为偶数时，S_n=

(1+n-1) n 2

2

+

2(1-2 n 2 )

1-2

=

n2

4

+2

n+2

2

-2，
当n为奇数时，S_n=

(1+n) n+1 2

2

+

2(1-2 n-1 2 )

1-2

=

(n+1)2

4

+2

n+1

2

-2，
故数列{a_n}的前n项的和为S_n=

n2 4 +2 n+2 2 -2      n为偶数 (n+1)2 4 +2 n+1 2 -2      n为奇数

，
可知随着n的增大，S_n逐渐增大，经验证S₁₉=1122，S₂₀=2146，
故满足S_n＜2012的最大的S_n的值为：S₁₉=1122

点评：本题考查等差数列和等比数列的综合应用，涉及分类讨论的思想，属中档题．