Question

如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面
AEC外一点F满足FC⊥平面BDE，FB=。

（1）证明：平面BEF⊥平面BDF；
（2）求二面角F-DE-B的正切值。

Answer 1

（1）证明：∵FC⊥平面BDE，
∴FC⊥EB，
∵点B和点C为线段AD的三等分点，
∴点B为圆心，
又∵点E为半圆弧AC的中点，
∴AC⊥EB，
又∵FC∩AC=C，
∴EB⊥平面FBD，
又∵EB平面FBE，
∴平面FBE⊥平面FBD。
（2）解：过点F作FG⊥DE于点G，连结CG，
∵FC⊥平面BDE，
∴FC⊥DE，
又∵FC∩FG=F，
∴DE⊥平面FCG，
∴DE⊥CG，
则∠FGC就是所求二面角F-DE-B的平面角，
在Rt△FBC中，FB=，半径BC=a，
∴FC=2a，
在Rt△BED中，BD=2a，半径BE=a，
∴DE=，
在Rt△DCE中，CG=，
∴，
即二面角F-DE-B的正切值为。