题目内容

在平面直角坐标系xOy中，点Q到两点M(0，-
3
)，N(0，
3
)的距离之和等于4，记点Q的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）以MN为直径的圆与曲线C有几个公共点？要说明理由；
（Ⅲ）P是曲线C上一点，则使△PMN是直角三角形的点P有几个？（直接作答，不写过程）
分析：（Ⅰ）设Q（x，y），QM+QN=4＞MN．由椭圆定义可知，点Q的轨迹C是以M(0，-
3
)，N(0，
3
)为焦点，长半轴为2的椭圆，由此能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）以MN为直径的圆的方程是x2+y2=3，联立方程
x2+y2=3
x2+
y2
4
=1
，解得
x=
3
3
y=
2
6
3
，或
x=-
3
3
y=-
2
6
3
，或
x=
3
3
y=-
2
6
3
，或
x=-
3
3
y=
2
6
3
，由此知以MN为直径的圆与曲线C有4个公共点．
（Ⅲ）P取MN为直径的圆与曲线C有4个公共点，能得到4个直角三角形；分别过M，N作MN的垂线，与曲线C得到四个不同的交点P，从而得到另外四个直角三角形，故使△PMN是直角三角形的点P有8个．
解答：解：（Ⅰ）设Q（x，y），QM+QN=4＞MN．
由椭圆定义可知，点Q的轨迹C是以M(0，-
3
)，N(0，
3
)为焦点，长半轴为2的椭圆．
它的短半轴b=
22-(
3
)2
=1，故曲线C的方程为x2+
y2
4
=1．
（Ⅱ）以MN为直径的圆的方程是x2+y2=3，
联立方程
x2+y2=3
x2+
y2
4
=1
，解得
x=
3
3
y=
2
6
3
，或
x=-
3
3
y=-
2
6
3
，或
x=
3
3
y=-
2
6
3
，或
x=-
3
3
y=
2
6
3
，
所以，曲线C与圆x2+y2=3的公共点有(
3
3
，
2
6
3
)，(-
3
3
，-
2
6
3
)，(-
3
3
，-
2
6
3
)和(-
3
3
，-
2
6
3
)，
故，以MN为直径的圆与曲线C有4个公共点．
（Ⅲ）使△PMN是直角三角形的点P有8个．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在直线y=x+4上，半径为2
2
的圆C经过坐标原点O，椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）若F为椭圆的右焦点，点P在圆C上，且满足PF=4，求点P的坐标．
如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．若点A的横坐标是
3
5
，点B的纵坐标是
12
13
，则sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．
在平面直角坐标系xOy中，若焦点在x轴的椭圆
x2
m
+
y2
3
=1的离心率为
1
2
，则m的值为
4
4
．
（2013•泰州三模）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．设直线AC与BD的交点为P，求动点P的轨迹的参数方程（以t为参数）及普通方程．
（2013•东莞一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F1（-1，0），且椭圆C的离心率e=
1
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上下顶点分别为A1，A2，Q是椭圆C上异于A1，A2的任一点，直线QA1，QA2分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值，并求出该定值；
（3）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆O：x2+y2=
16
7
相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网