Question

如图,圆O₁与圆O₂的半径都是1，O₁O₂=4，过动点P分别作圆O₁、圆O₂的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得PM=2PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.

Answer 1

剖析：此题是以O₁O₂所在直线为x轴，线段O₁O₂的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，把PM、PN的关系转化为PO₁与PO₂的关系，这样就把P、M、N三个动点问题转化为关于一个动点P的问题.

解：作直线O₁O₂，以直线O₁O₂为x轴，线段O₁O₂的垂直平分线为y轴，连结O₁M、O₂N，设P点坐标为(x,y).

    ∵PM、PN分别为⊙O₁、⊙O₂的切线，

    ∴O₁M⊥PM,O₂N⊥PN.

    ∴△PO₁M，△PO₂N为直角三角形.

    ∴PO₁²=PM²+O₁M²=PM²+1,

    PO₂²=PN²+O₂N²=PN²+1.

    ∵PM=PN,

    ∴PM²=2PN².

    ∴PO₁²=2PN²+1,                              ①

    2PO₂²=2(PN²+1)=2PN²+2.              ②

    由②-①得2PO₂²-PO₁²=1.

    ∵PO₂²=(x-2)²+y²,PO₁²=(x+2)²+y²,

    ∴2［(x-2)²+y²］-［(x+2)²+y²］=1.

    ∴2x²-8x+8+2y²-x²-4x-4-y²-1=0.

    ∴x²-12x+y²+3=0.

    ∴(x-6)²+y²=33.

讲评：正确建系是解好本题的首要任务,用PM、PN来表示PO₁、PO₂是本题的核心，这样就把三个动点问题转化为只关于一个动点P的问题.体现出转化思想的重要性，转化时用到了消去变量PM、PN的方法.