Question

函数f（x）=x（x-m）满足f(

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+x)=f(

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-x)，且在区间[a，b]上的值域是[-1，3]，则点（a，b）的轨迹是图中的（　　）

• A、线段AB和线段AD
• B、线段AB和线段CD
• C、线段AD和线段BC
• D、线段AC和线段BD

Answer 1

分析：由函数满足f(

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+x)=f(

3

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-x)可得函数关于x=1对称，从而可得，f（x）=x（x-2）=（x-1）²-1，要使得函数的值域为[-1，3]，则函数的定义域内必须有x=1，且x不能超过3，-1，结合二次函数的图象可得当a=-1时，1≤b≤3，当b=3时，1-≤a≤1，从而可求

解答：解：由函数满足f(

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+x)=f(

3

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-x)可得函数关于x=1对称
f（x）=x（x-m）的对称轴为x=1，从而有m=2，f（x）=x（x-2）=（x-1）²-1
由二次函数的性质可知，要使得函数的值域为[-1，3]，则函数的定义域内必须有x=1，且x不能超过3，-1
所以，当a=-1时，1≤b≤3，则点（a，b）所表示的轨迹为线段AB
      当b=3时，1-≤a≤1，则点（a，b）所表示的轨迹为线段AD
故选：A

点评：本题主要考查了二次函数的性质（对称性、函数的定义域域函数的值域）的应用，解题的关键是熟练应用二次函数的图象．