Question

（本小题满分14分）已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立。

 （Ⅰ）函数是否属于集合？说明理由；

 （Ⅱ）设函数，求的取值范围；

 （Ⅲ）设函数图象与函数的图象有交点，

证明：函数。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）。（Ⅱ）。  （Ⅲ）见解析。

【解析】

试题分析：（1）根据题意，只要sin（x₀+1）=sinx₀+sin1成立即可，由解析式列出方程，再由特殊角的正弦值进行证明；

（2）把解析式代入f（x+1）=f（x）+f（1），列出对应的方程，再由一元二次方程有解的条件求出k的范围，注意二次系数是否为零；

（3）根据定义只要证明f（x+1）=f（x）+f（1）有解，把解析式代入列出方程，转化为对应的函数，利用函数的零点存在性判定理进行判断．.

（Ⅰ）若，在定义域内存在，则，  ∵方程无解，∴。

（Ⅱ），

时，；时，由，得。

∴。 

（Ⅲ）∵，

又∵函数图象与函数的图象有交点，设交点的横坐标为，

则，其中。

∴，即。

考点：对数函数图像与性质的综合应用.

点评：本题属于新定义，新情景的问题，主要利用新定义进行运算，考查了对数函数、正弦函数和指数函数的性质，函数的零点存在性判定理的应用，综合性强、难度大．