Question

已知集合S_n＝{X|X＝(x₁，x₂，…，x_n)，x₁∈{0，1}，i＝1，2，…，n}(n≥2)对于A＝(a₁，a₂，…a_n，)，B＝(b₁，b₂，…b_n，)∈S_n，定义A与B的差为A－B＝(|a₁－b₁|，|a₂－b₂|，…|a_n－b_n|)；A与B之间的距离为

(Ⅰ)证明：A，B，C∈S_n，有A－B∈S_n，且d(A－C，B－C)＝d(A，B)；

(Ⅱ)证明：A，B，C∈S_n，d(A，B)，d(A，C)，d(B，C)三个数中至少有一个是偶数

(Ⅲ)设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P)

证明：(P)≤

Answer 1

答案：
解析：

证明：(Ⅰ)设，， 　　因为，，所以， 　　从而 　　又 　　由题意知，， 　　当时， 　　当时， 　　所以 　　(Ⅱ)设，， 　　，， 　　记，由(I)可知 　　 　　 　　 　　所以中1的个数为，的1的 个数为． 　　设是使成立的的个数，则 　　由此可知，三个数不可能都是奇数， 　　即，，三个数中至少有一个是偶数． 　　(Ⅲ)，其中表示中所有两个元素间距离的总和， 　　设种所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0 　　则＝ 　　由于 　　所以 　　从而