Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量

m

=（a，

1

2

），

n

=（cosC，c-2b），且

m

⊥

n

（1）求角A的大小；
（2）若|

AC

|+|

AB

|=

3

|

BC

|，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）根据

m

⊥

n

利用向量的数量积运算公式，得2acosC+c-2b=0．再根据正弦定理和三角恒等变换公式化简，得sinC（1-2cosA）=0，由sinC＞0得1-2cosA=0，从而cosA=

1

2

，可得A=

π

3

；
（2）题中等式即b+c=

3

a，利用正弦定理变形得sinB+sinC=

3

sinA，将A=

π

3

和sinB=sin（A+C）代入化简，可得sin（C+

π

6

）=

3

2

，从而算出角B、C的大小，得到△ABC是直角三角形．

解答：解：（1）∵

m

=（a，

1

2

），

n

=（cosC，c-2b），且

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=acosC+

1

2

（c-2b）=0，即2acosC+c-2b=0．
根据正弦定理，得2sinAcosC+sinC-2sinB=0，…（*）
∵A+C=π-B，得sin（A+C）=sin（π-B）=sinB，∴sinB=sinAcosC+cosAsinC，
代入（*）式，得2sinAcosC+sinC-2（sinAcosC+cosAsinC）=0
化简得sinC（1-2cosA）=0，
∵C为三角形的内角，得sinC＞0，
∴1-2cosA=0，得cosA=

1

2

，结合A∈（0，π）得A=

π

3

；
（2）∵|

AC

|+|

AB

|=

3

|

BC

|，即b+c=

3

a，∴由正弦定理，得sinB+sinC=

3

sinA，
结合A=

π

3

得sinB+sinC=

3

sin

π

3

=

3

2

．
∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

3

2

cosC+

1

2

sinC，
∴sinB+sinC=

3

2

cosC+

1

2

sinC+sinC=

3

2

，即

3

2

sinC+

3

2

cosC=

3

2

，
即

3

2

sinC+

1

2

cosC=

3

2

，得sin（C+

π

6

）=

3

2

∵C∈（0，

2π

3

），得C+

π

3

∈（

π

6

，

5π

6

），∴C+

π

6

=

π

3

或

2π

3

，得C=

π

6

或

π

2

，
当C=

π

6

时，B=π-A-C=

π

2

；当C=

π

2

时，B=π-A-C=

π

6

．
因此，△ABC是直角三角形．

点评：本题给出向量含有三角形的边角的坐标式，在向量垂直的性质下求角的大小，并依此判断三角形的形状．着重考查了向量的数量积公式及其运算性质、正弦定理、三角恒等变换等知识，属于中档题．